7 - 2018

Компьютерное моделирование аэродинамики штрафного удара Криштиану Роналду

Эта публикация — перевод блог-поста «Explaining the aerodynamics behind Cristiano Ronaldo’s free kick with computer simulation» менеджера по маркетингу, Simcenter, Siemens PLM Software г-на Prashanth Shankara Shastrigal.

Чемпионат мира по футболу 2018 года. 32 команды сражаются на самом популярном спортивном мероприятии за всю историю.

Групповой этап, играют сборная Испании со сборной Португалии. Идет 88­я минута матча, счет 3:2 в пользу Испании.

Два фаворита в гонке за кубок. Команда Португалии отстает на одно очко и отчаянно пытается забить гол. За игрой наблюдают миллионы болельщиков. Жерар Пике (Испания) сбивает с ног самого известного (прости, Лионель Месси!) футбольного игрока на планете прямо рядом со штрафной площадкой. Назначается штрафной в ворота Испании. Расстояние до ворот — 22 м. И тут в дело вступает Криштиану Роналду.

Как говорится, «мгновение создает человека». Великолепно исполненный штрафной удар с полетом мяча по круто изогнутой траектории смог обмануть и стоящих в стенке защитников, и раскинувшего руки испанского вратаря. Всего через 0,82 секунды Роналду подпрыгивает от радости — он только что стал легендой и вошел в пантеон славы Чемпионата мира по футболу. Этот потрясающий штрафной удар и завоеванное на последней минуте последнего матча очко для сборной Португалии полностью изменили ситуацию в группе, особенно с учетом удачных выступлений сборных Ирана и Марокко.

Если Португалия все же стала бы чемпионом мира, то именно этот крученый пушечный удар Роналду навсегда запомнился бы как тот момент, с которого началось восхождение к славе команды, прозванной «A Seleção das Quinas» (“Лучшие защитники”). Этого не произошло, но все равно данный гол остался одним из величайших моментов в Чемпионате мира — благодаря Криштиану Роналду и некоему Густаву Магнусу. Кто же такой этот Магнус?

Прежде чем продолжить, давайте посмотрим на магию еще раз. Начните с отметки времени 0:33. Посмотрите видео https://www.youtube.com/watch?v=y­5dQdaj1kQ (видеозапись предоставлена каналом FOX Soccer). Теперь протрите глаза и посмотрите запись еще раз.

Вы обратили внимание на «бананообразную» траекторию мяча? Чтобы переиграть одного из лучших голкиперов мира Дэвида де Хеа, Роналду требовалось перебросить мяч через защитную стенку с расстояния всего в 22 метра, причем на точно заданной скорости и высоте. Но этого было бы недостаточно.

Роналду ударил по мячу с небольшим смещением от центра, направив его вправо от ворот. Это придало мячу вращение и изогнуло траекторию так, что он попал в ворота. Именно такая «бананообразная» траектория позволила забить гол, и даже быстроногий Дэвид де Хеа не успел сдвинуться с места. Чтобы выполнить подобный удар под колоссальным психологическим давлением на крупнейшем мировом спортивном мероприятии, требуются долгие тренировки, способности, немного гениальности... и эффект Магнуса (рис. 1).

Рис. 1. Численное моделирование аэродинамики мяча в системе Simcenter STAR-CCM+

Рис. 1. Численное моделирование аэродинамики мяча в системе Simcenter STAR-CCM+

Футбольный мяч и эффект Магнуса

Эффект Магнуса состоит в искривлении траектории вращающегося сферического объекта в одну сторону,  которое вызвано  неравномерностью воздушных потоков, создаваемых вокруг объекта в результате его вращения.

На движущийся сквозь воздух невращающийся футбольный мяч действуют различные силы, определяющие его траекторию. Сила сопротивления возникает от трения молекул воздуха о поверхность тела (сопротивление поверхностного трения) и разницы давлений в окружающем мяч воздушном потоке (сопротивление давления). Сила сопротивления тормозит мяч. Это универсальное аэродинамическое явление, применимое и к самолетам, и к автомобилям, и к спортивным мячам. Подъемная сила поднимает объект из­за перепада давлений (именно поэтому летают самолеты). Наконец, существует так называемая боковая сила — и именно здесь в действие вступает эффект Магнуса.

При низких скоростях поток вокруг мяча ламинарен (то есть равномерен: все слои воздуха являются невозмущенными). Пограничный слой — прилегающий к поверхности тонкий слой воздуха — отрывается от мяча сразу после его центра, и позади мяча образуется область хаотичного, возмущенного потока. На высоких скоростях поток вокруг мяча, включая и пограничный слой, становится турбулентным. Турбулентность возбуждает молекулы воздуха и вынуждает их дольше находиться у поверхности тела. В результате точка отрыва поверхностного слоя смещается по направлению к задней части мяча, что уменьшает вихревую зону. Пока все понятно?

Если при штрафном ударе мяч вращается, то находящийся рядом с поверхностью слой затягивается в направлении вращения. Поэтому с этой стороны отрыв поверхностного слоя задерживается. А с противоположной стороны вращение вызывает более ранний отрыв поверхностного слоя. В результате возникает сила, смещающая мяч в сторону более низкого давления (вспомните школьную физику: воздух перемещается из зоны высокого в зону низкого давления). Это и есть сила Магнуса.

На самом деле из­за шероховатой поверхности мяча и швов на нем всё оказывается гораздо сложнее. Аэродинамика различных мячей тщательно исследовалась в аэродинамических трубах. Ученые пришли к выводу: число элементов, из которых сшит мяч, их форма, глубина и высота швов оказывают существенное влияние на поведение мяча в полете. Мячи для чемпионатов мира больше не делаются из традиционных 32 элементов — компания Adidas постоянно работает над совершенствованием конструкции.

Telstar 18 — официальный мяч Чемпионата мира по футболу 2018 года. Джон Эрик Гофф (John Eric Goff) с коллегами уже выполнили испытания этого мяча в аэродинамической трубе и сравнили его аэродинамику, а также свойства поверхности с мячом Brazuca, применявшимся на Чемпионате мира по футболу 2014 года. На рис. 2 представлена разница в формах элементов, текстуре поверхности и глубине швов. Следует отдать должное инженерам компании Adidas: несмотря на все внесенные изменения, оба мяча являются динамически устойчивыми, а их характеристики весьма сходны.

Рис. 2. Мяч Adidas Telstar 18 — друг Роналду (изображение взято из статьи Aerodynamic and surface comparisons between Telstar 18 and Brazuca [Сравнение аэродинамических характеристик и свойств поверхности футбольных мячей Telstar 18 и Brazuca], John Eric Goff, Sungchan Hong, and Takeshi Asai, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part P: Journal of Sports Engineering and Technology)

Рис. 2. Мяч Adidas Telstar 18 — друг Роналду (изображение взято из статьи Aerodynamic and surface comparisons between Telstar 18 and Brazuca [Сравнение аэродинамических характеристик и свойств поверхности футбольных мячей Telstar 18 и Brazuca], John Eric Goff, Sungchan Hong, and Takeshi Asai, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part P: Journal of Sports Engineering and Technology)

Численное моделирование штрафного удара Роналду средствами вычислительной газогидродинамики

Для выявления точных аэродинамических характеристик знаменитого штрафного удара я решил выполнить его моделирование в «виртуальной аэродинамической трубе» при помощи Simcenter STAR­CCM+, представляющего собой программный комплекс вычислительной газогидродинамики от Siemens PLM Software. Вычислительная газогидродинамика является частью механики жидкостей и газов. Она использует математику, физику и программное обеспечение для анализа поведения жидкостей и газов. Система Simcenter STAR­CCM+ нашла широкое применение в проектировании большинства современных изделий, среди которых — самолеты, корабли, нефтяные платформы, автомобили и медицинская техника. В данном решении создается цифровой двойник футбольного мяча, точно моделирующий его поведение в реальных условиях.

Для выполнения расчета использовалась 3D­модель мяча. Удар выполнялся с расстояния около 22 м от ворот. Мяч долетел до сетки за 0,82 секунды. Масса мяча составляет 0,436 кг, а примерная частота вращения — 5 оборотов в секунду. Скорость, приданная мячу ногой Роналду, достигала 26,8 м/с (96,5 км/ч). Атмосферные условия у поверхности земли принимались стандартными на уровне моря. Для расчета аэродинамики мяча наиболее важным оказалось прогнозирование перехода пограничного слоя из ламинарного в турбулентный режим. Для этого использовалась специальная модель перехода Gamma Re Theta, предусмотренная в системе STAR­CCM+.

Результаты численного моделирования обязательно должны сравниваться с результатами натурных испытаний. Для контроля вычислительной модели коэффициенты аэродинамических сил сравнивали с данными, полученными Гоффом и коллегами в реальной аэродинамической трубе. В таблице приведены расчетные и полученные при натурных испытаниях коэффициенты сопротивления мяча.

С учетом отсутствия части данных и сделанных предположений расчетные значения коэффициента сопротивления, подъемной и боковой силы достаточно хорошо согласуются с результатами испытаний. C целью контроля расчетной модели проводился анализ физики потока.

Действующие на мяч силы были усреднены по всему времени полета при помощи системы STAR­CCM+. Вы заметили, что боковая сила держится на уровне около 5 ньютонов и имеет отрицательное направление? Вот и причина искривления траектории. Эта сила непрерывно действует на мяч и искривляет траекторию его полета.

Скорость

Коэфф. сопр. (по испытаниям в аэродинамической трубе)

Коэфф. сопр. (по расчету в STAR­CCM+)

112 км/ч

0,201

0,2209

122 км/ч

0,196

0,222

Подъемная сила — 0,277 Н; сила сопротивления — 5,645 Н; боковая сила (сила Магнуса) — 4,9 Н.

Теперь отклонение мяча от прямолинейной траектории можно вычислить простыми алгебраическими действиями. Окончательное расчетное отклонение посланного Роналдо мяча модели Telstar 18 по результатам расчетов в системе STAR­CCM+ составляет 3,9 м.

С учетом малого расстояния до ворот и того, что Роналду ударил по мячу так, что мяч сначала отвернул от штанги, а уже потом траектория изогнулась, становятся очевидными два факта:

  • Роналду находится на пике формы, раз он способен выполнять столь идеальные удары по изогнутой траектории;
  • такой удар стал возможным, потому что компания Adidas создала мяч с улучшенной аэродинамикой и более предсказуемым поведением.

При ударе мяч получил не только поступательную скорость, но и создавал завихрение (вращение) потока. Суммарная боковая сила вызвана действием парных вихрей и зависит от размера таких вихрей. Вихревая зона действительно смещается в одну сторону, вызывая боковую силу, однако флуктуации в вихревой зоне слишком малы, чтобы траектория вращающегося мяча стала более пологой. Поэтому футболисты полагаются на эффект Магнуса и бьют мимо ворот, а аэродинамические силы приводят мяч в ворота (рис. 3).

Рис. 3. Численное моделирование штрафного удара Роналду и свойства потока, рассчитанные в системе STAR-CCM+ (запись матча предоставлена телеканалом FOX Soccer, 
https://www.youtube.com/watch?v=y-5dQdaj1kQ)

Рис. 3. Численное моделирование штрафного удара Роналду и свойства потока, рассчитанные в системе STAR-CCM+ (запись матча предоставлена телеканалом FOX Soccer,
https://www.youtube.com/watch?v=y-5dQdaj1kQ)

При создании расчетной модели окружающая мяч область была разделена на 30 млн гексагональных ячеек, для каждой из которых выполнялось решение уравнений Навье — Стокса (описывающих поведение потоков жидкостей и газов). Насколько сложной оказалась эта задача? На один расчет уходило 24 часа. При этом было задействовано 9 процессорных ядер. Физические параметры рассчитывались с шагом 0,0005 с, что гарантировало точное выявление пространственных и временных флуктуаций. Каждые 0,0005 с мяч поворачивался на 1 градус.

Создаваемая боковая сила зависит от начальной ориентации швов на мяче, а также от текстуры (шероховатости) поверхности. Кроме того, критически важно точно определить частоту вращения мяча в полете. В связи с отсутствием подобной информации был сделан ряд допущений. Так, было принято, что вся поверхность мяча имеет одинаковую шероховатость, равную 5 мкм. Геометрия модели соответствует реальной геометрии мяча. Конечно, лазерное сканирование мяча дало бы более точные результаты. Приблизительная частота вращения была установлена визуально. Траектория перемещения мяча по дуге от уровня земли до верхней точки над защитной стенкой и его последующего снижения также не учитывались. Знание указанной траектории позволило бы получить еще более точные результаты.

Помог ли футбольный мяч модели Telstar 18 выполнить такой штрафной удар? Несомненно.

Исследования Джона Эрика Гоффа уже показали, что с точки зрения аэродинамики модели мячей Telstar 18 и Brazuca практически идентичны, а их поведение гораздо более предсказуемо. Сыграло ли это какую­либо роль в выполнении рассматриваемого штрафного удара? Думаю, да. Вратарь Дэвид де Хеа оставался на своем месте в основном потому, что сначала траектория движения мяча шла мимо ворот и лишь потом изогнулась. Расстояние между штангами ворот составляет 7,32 м. Разумная оценка фактического бокового смещения мяча — около 3,5 м. По расчетам получено значение 3,9 м, что объясняется использованием ряда допущений, нехваткой данных и отсутствием сканированной модели мяча. Меня более интересовал вопрос, какое влияние конструкция мяча оказала на изменение его траектории, а в конечном счете — на исход матча?

Я повторил расчет для мяча модели Jabulani (Чемпионат мира 2010 года) и получил следующие результаты:

Подъемная сила — 0,3667 Н; сила сопротивления — 5,338 Н; боковая сила (сила Магнуса) — 5,647 Н.

Окончательное расчетное отклонение посланного Роналду мяча по результатам расчетов в системе STAR­CCM+ составляет 4,6 м.

Дэвид де Хеа даже не попытался перехватить мяч, как только он понял, что траектория ведет в недосягаемый верхний угол ворот. Его рост — 1 м 90 см. В прыжке он способен дотянуться примерно на 2,2 м. В исходном положении перед ударом Дэвид де Хеа находился в 2,75 м от левой штанги. Мяч попал в сетку в 5,9 м от левой штанги. Пересечь расстояние в 3,15 м было совершенно невозможно.

Если бы Роналду выполнял штрафной удар мячом марки Jabulani, то такой мяч сместился бы на лишние 0,7 м в сторону вратаря, оказавшись примерно в 5,2 м от левой штанги. Тогда для перехвата мяча Дэвид де Хеа должен был бы преодолеть 2,45 м. Таким образом, тот же удар, но мячом Jabulani скорее всего привел бы к тому, что мяч оказался бы в зоне досягаемости вратаря. С учетом начального движения в сторону мяча Дэвид де Хеа мог его отбить. Голкиперы действуют инстинктивно. Если бы траектория мяча искривилась больше в сторону вратаря, то инстинкты могли бы сработать и он бы перехватил мяч (или, по крайней мере, попытался бы это сделать). А теперь — пока, Испания!

Истина в том, что от мяча результат зависит не меньше, чем от игрока. Все это зависит от того, каким мячом играть.

Я смоделировал в STAR­CCM+ тот же штрафной удар, но с мячом Jabulani (Чемпионат мира 2010 года). Результаты следующие. Вихревые зоны мячей Jabulani и Telstar почти не различаются. Глубина швов мяча Jabulani равна 0,5 мм, а Telstar 1 — 1,1 мм. Разница совсем незначительная? Да. Ею можно пренебречь? Нет. Именно швы, а также структура поверхности влияют на то, что разные мячи при одном и том же ударе движутся по­разному. Швы на мяче Jabulani менее глубокие, их общая длина меньше, а поверхность мяча более гладкая. Поэтому поток отрывается раньше, что приводит к увеличению размеров вихревой зоны и большему отклонению в сторону (рис. 4).

Рис. 4. Аэродинамические характеристики мяча Jabulani для случая штрафного удара Роналду

Рис. 4. Аэродинамические характеристики мяча Jabulani для случая штрафного удара Роналду

Рис. 4. Аэродинамические характеристики мяча Jabulani для случая штрафного удара Роналду

А если бы это был «наклбол»?

Разумеется, Рональду прославился своими «наклбольными» ударами — как с быстрым вращением мяча, так и без него. Вихревая зона позади невращающегося мяча отличается большей нестабильностью и сильными флуктуациями, что и приводит к возникновению эффекта «наклбола» с движением мяча по непредсказуемой траектории. Мне стало интересно: а что было бы, если бы Роналду попытался сделать «наклбольный» удар? У меня еще оставалось немного компьютерного времени на анализ аэродинамики такого удара (рис. 5).

Рис. 5. Аэродинамические характеристики «наклбольного» удара Роналду

Рис. 5. Аэродинамические характеристики «наклбольного» удара Роналду

В этом случае Роналду должен был бы ударить по мячу прямо и направить его поверх защитной стенки, а не добиваться искривления траектории наружу. Обратите внимание на направление действия боковой силы в полете — это и есть «эффект наклбола». Подъемная сила также меняет свое направление в полете, что делает траекторию непредсказуемой. Хотя среднее отклонение невелико, колебания мяча в любую сторону затрудняют его перехват. Так почему же Роналду отказался от своего фирменного «наклбольного» удара? Потому что расстояние до ворот было слишком мало, чтобы мяч успел набрать достаточную высоту, пролететь над стенкой и попасть в цель.

Подъемная сила — 0,58 Н; сила сопротивления — 4,65 Н; боковая сила (сила Магнуса) — 0,41 Н.

Боковая сила — 0,59 Н.

Заключение

Сборная Португалии в этот раз не стала чемпионом мира, но штрафной удар Роналду в любом случае войдет в анналы спорта. Роналду привлек огромное внимание, им восхищаются — и не без причины. Но мы должны отдать должное и компании Adidas как изготовителю мяча, который постоянно работает над улучшением конструкции и созданием устойчивой аэродинамики мяча. Описанные здесь расчеты являются попыткой дальнейшего объяснения физических явлений, лежащих в основе штрафных ударов в футболе. Роналду ударил по мячу мимо ворот, будучи полностью уверенным в том, что приданное мячу вращение и его предсказуемое поведение изменят траекторию так, что мяч попадет в ворота, минуя вратаря.

А сработал бы такой трюк с мячом Jabulani? Скорее всего, нет — мяч оказался бы в пределах досягаемости голкипера. Поведение мяча диктует стиль игры. Именно по этой причине на Чемпионате мира по футболу 2010 года некоторые команды полагались только на короткие передачи (Испания, это про тебя!), чтобы исключить непредсказуемое поведение мяча при длинных передачах.

Когда вы смотрите матчи, то помните, что ни один такой гол не «нарушает законов физики», как любят утверждать комментаторы. Разница между тем, чтобы войти в историю или оказаться всего лишь заметкой на полях чемпионата мира, также определяется законами физики: конструкция мяча, турбулентные вихри позади него, пограничный слой...

Интересно, может ли кто­нибудь из читателей связаться с Криштиану? Мы бы хотели попросить его выполнить тот же удар, но теми мячами, которые использовались на предыдущих чемпионатах мира.

Чтобы узнать больше о физике штрафных ударов, ознакомьтесь с исследованием Раби Мехта (Rabi Mehta) из НАСА и Джона Эрика Гоффа (John Eric Goff) из колледжа Линчбурга. А пока мои коллеги из отдела численного моделирования систем в Simcenter уже 5 июля выпускают новую библиотеку Simcenter Amesim World Cup. 

Adidas, Telstar 18 и Jabulani являются зарегистрированными торговыми знаками компании Adidas AG. Siemens PLM Software, ее дочерние компании и продукты никоим образом не связаны с компанией Adidas AG, не одобряются, не поддерживаются и не спонсируются ею.

FIFA World Cup, 20148 FIFA World Cup, и 2010 FIFA World Cup являются торговыми марками FIFA. Siemens PLM Software, ее дочерние компании и продукты никоим образом не связаны с федерацией FIFA, не одобряются, не поддерживаются и не спонсируются ею