Рекламодатель: ЗАО «Топ Системы»

ИНН 7726601967 ОГРН 1087746953557

Рекламодатель:
ООО «С3Д Лабс»

ИНН 7715938849 ОГРН 1127747049209

9 - 2021

Шароусеченные аналоги архимедовых тел

Виктор Чебыкин

В статье продолжена тема шароусеченных аналогов правильных и полуправильных многогранников. На сей раз речь пойдет об аналогах архимедовых тел.

Заняться шароусеченными аналогами архимедовых тел автор планировал сразу же после платоновых и каталановых. Сделать это помешали обстоятельства, которые сейчас преодолены, и есть возможность вернуться к реализации этой идеи.

«Архимедово тело (или архимедов многогранник) — выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Здесь “идентичные вершины” означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую (Википедия).

Известно 13 архимедовых тел. Способов построения моделей этих многогранников существует несколько, один из которых реализуется усечением шара плоскостями. Аналогично можно получить и несколько иные тела — так называемые шароусеченные, сходство которых с архимедовыми телами заключается в равном количестве граней и в равных по величине двугранных углах. Отличаются от многогранников они круглыми плоскими гранями, которые не пересекаются, а сопрягаются между собой касанием, что исключает наличие вершин и прямых ребер.

На рис. 1­13 представлены модели шароусеченных аналогов архимедовых тел и их краткие характеристики.

Рис. 1. Аналог усеченного тетраэдра:
• 8 граней (4 больших, 4 малых), 12 сферических участков;
• двугранные углы:
между большими гранями ≈ 70,53°,
между большой и малой гранями ≈ 109,47°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,82;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,27

Рис. 2. Аналог кубооктаэдра:
•	14 граней (6 больших, 8 малых), 12 сферических участков;
•	двугранный угол между большой и малой гранями ≈ 125,26°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,58;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,33

Рис. 2. Аналог кубооктаэдра:
• 14 граней (6 больших, 8 малых), 12 сферических участков;
• двугранный угол между большой и малой гранями ≈ 125,26°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,58;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,33

Рис. 3. Аналог усеченного куба:
•	14 граней (6 больших, 8 малых), 24 сферических участка;
•	двугранные углы: 
между большими гранями = 90°,
между большой и малой гранями ≈ 125,26°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,71;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,17

Рис. 3. Аналог усеченного куба:
• 14 граней (6 больших, 8 малых), 24 сферических участка;
• двугранные углы:
между большими гранями = 90°,
между большой и малой гранями ≈ 125,26°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,71;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,17

Рис. 4. Аналог усеченного октаэдра:
•	14 граней (8 больших, 6 малых), 24 сферических участка;
•	двугранные углы: 
между большими гранями ≈ 109,47°,
между большой и малой гранями ≈ 125,26°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,65;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,33

Рис. 4. Аналог усеченного октаэдра:
• 14 граней (8 больших, 6 малых), 24 сферических участка;
• двугранные углы:
между большими гранями ≈ 109,47°,
между большой и малой гранями ≈ 125,26°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,65;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,33

Рис. 5. Аналог ромбокубооктаэдра:
•	26 граней (18 больших, 8 малых), 24 сферических участка;
•	двугранные углы: 
между большими гранями = 135°,
между большой и малой гранями ≈ 144,74°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,38;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,22

Рис. 5. Аналог ромбокубооктаэдра:
• 26 граней (18 больших, 8 малых), 24 сферических участка;
• двугранные углы:
между большими гранями = 135°,
между большой и малой гранями ≈ 144,74°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,38;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,22

Рис. 6. Аналог ромбоусеченного кубооктаэдра:
•	26 граней (6 больших, 8 средних и 12 малых), 48 сферических участков;
•	двугранные углы: 
между большой и средней гранями ≈ 125,26°,
между большой и малой гранями = 135°, 
между средней и малой гранями ≈ 144,74°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,53;
•	отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,38;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,22

Рис. 6. Аналог ромбоусеченного кубооктаэдра:
• 26 граней (6 больших, 8 средних и 12 малых), 48 сферических участков;
• двугранные углы:
между большой и средней гранями ≈ 125,26°,
между большой и малой гранями = 135°,
между средней и малой гранями ≈ 144,74°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,53;
• отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,38;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,22

Рис. 7. Аналог икосододекаэдра:
•	32 грани (12 больших, 20 малых), 30 сферических участков;
•	двугранный угол между большой и малой гранями ≈ 142,62°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,45;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,19

Рис. 7. Аналог икосододекаэдра:
• 32 грани (12 больших, 20 малых), 30 сферических участков;
• двугранный угол между большой и малой гранями ≈ 142,62°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,45;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,19

Рис. 8. Аналог усеченного додекаэдра:
•	32 грани (12 больших, 20 малых), 60 сферических участков;
•	двугранные углы: 
между большими гранями ≈ 116,57°,
между большой и малой гранями ≈ 142,62°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,53;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,10

Рис. 8. Аналог усеченного додекаэдра:
• 32 грани (12 больших, 20 малых), 60 сферических участков;
• двугранные углы:
между большими гранями ≈ 116,57°,
между большой и малой гранями ≈ 142,62°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,53;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,10

Рис. 9. Аналог усеченного икосаэдра:
•	32 грани (20 больших, 12 малых), 60 сферических участков;
•	двугранные углы: 
между большими гранями ≈ 138,19°,
между большой и малой гранями ≈ 142,62°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,36;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,28

Рис. 9. Аналог усеченного икосаэдра:
• 32 грани (20 больших, 12 малых), 60 сферических участков;
• двугранные углы:
между большими гранями ≈ 138,19°,
между большой и малой гранями ≈ 142,62°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,36;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,28

Рис. 10. Аналог курносого куба*:
•	38 граней (6 больших, 32 малых), 24 сферических участка;
•	двугранные углы: 
между малыми гранями ≈ 153,23°,
между большой и малой гранями ≈ 142,98°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,40;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,23

Рис. 10. Аналог курносого куба*:
• 38 граней (6 больших, 32 малых), 24 сферических участка;
• двугранные углы:
между малыми гранями ≈ 153,23°,
между большой и малой гранями ≈ 142,98°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,40;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,23

Рис. 11. Аналог ромбоикосододекаэдра:
•	62 грани (12 больших, 30 средних и 20 малых), 60 сферических участков;
•	двугранные углы: 
между большой и средней гранями ≈ 148,29°,
между средней и малой гранями ≈ 159,09°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,32;
•	отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,23;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,13

Рис. 11. Аналог ромбоикосододекаэдра:
• 62 грани (12 больших, 30 средних и 20 малых), 60 сферических участков;
• двугранные углы:
между большой и средней гранями ≈ 148,29°,
между средней и малой гранями ≈ 159,09°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,32;
• отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,23;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,13

Рис. 12. Аналог ромбоусеченного икосододекаэдра:
•	62 грани (12 больших, 20 средних и 30 малых), 120 сферических участков;
•	двугранные углы: 
между большой и средней гранями ≈ 142,62°,
между большой и малой гранями ≈ 148,28°,
между средней и малой гранями ≈ 159,09°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,41;
•	отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,23;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,13

Рис. 12. Аналог ромбоусеченного икосододекаэдра:
• 62 грани (12 больших, 20 средних и 30 малых), 120 сферических участков;
• двугранные углы:
между большой и средней гранями ≈ 142,62°,
между большой и малой гранями ≈ 148,28°,
между средней и малой гранями ≈ 159,09°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,41;
• отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,23;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,13

Рис. 13. Аналог курносого додекаэдра*:
•	92 грани (12 больших, 80 малых), 60 сферических участков;
•	двугранные углы: 
между малыми гранями ≈ 164,18°,
между большой и малой гранями ≈ 152,93°;
•	отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,33;
•	отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,14

*Аналоги курносого куба и курносого додекаэдра имеют правые и левые зеркальные формы, как и их архимедовы прототипы

Рис. 13. Аналог курносого додекаэдра*:
• 92 грани (12 больших, 80 малых), 60 сферических участков;
• двугранные углы:
между малыми гранями ≈ 164,18°,
между большой и малой гранями ≈ 152,93°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,33;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,14

*Аналоги курносого куба и курносого додекаэдра имеют правые и левые зеркальные формы, как и их архимедовы прототипы

Свойства симметрии шароусеченных аналогов совпадают с аналогичными свойствами архимедовых прототипов.

Что касается применения, то, например, в качестве игральных костей аналоги архимедовых тел не подойдут из­за разных размеров граней и разных расстояний от граней до центра шара. А вот опциональные возможности их использования в качестве игрушек, сувениров и вариантов огранки ювелирных изделий остаются (рис. 14). 

Рис. 14. Пример ювелирного изделия

Рис. 14. Пример ювелирного изделия

Регистрация | Войти

Мы в телеграм:

Рекламодатель:
ООО «Нанософт разработка»

ИНН 7751031421 ОГРН 5167746333838

Рекламодатель: ЗАО «Топ Системы»

ИНН 7726601967 ОГРН 1087746953557

Рекламодатель: ООО «ПЛМ Урал»

ИНН 6658305757 ОГРН 1086658008975