В статье продолжена тема шароусеченных аналогов правильных и полуправильных многогранников. На сей раз речь пойдет об аналогах архимедовых тел.
Заняться шароусеченными аналогами архимедовых тел автор планировал сразу же после платоновых и каталановых. Сделать это помешали обстоятельства, которые сейчас преодолены, и есть возможность вернуться к реализации этой идеи.
«Архимедово тело (или архимедов многогранник) — выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Здесь “идентичные вершины” означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую (Википедия).
Известно 13 архимедовых тел. Способов построения моделей этих многогранников существует несколько, один из которых реализуется усечением шара плоскостями. Аналогично можно получить и несколько иные тела — так называемые шароусеченные, сходство которых с архимедовыми телами заключается в равном количестве граней и в равных по величине двугранных углах. Отличаются от многогранников они круглыми плоскими гранями, которые не пересекаются, а сопрягаются между собой касанием, что исключает наличие вершин и прямых ребер.
На рис. 113 представлены модели шароусеченных аналогов архимедовых тел и их краткие характеристики.
Рис. 1. Аналог усеченного тетраэдра:
• 8 граней (4 больших, 4 малых), 12 сферических участков;
• двугранные углы:
между большими гранями ≈ 70,53°,
между большой и малой гранями ≈ 109,47°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,82;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,27
Рис. 2. Аналог кубооктаэдра:
• 14 граней (6 больших, 8 малых), 12 сферических участков;
• двугранный угол между большой и малой гранями ≈ 125,26°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,58;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,33
Рис. 3. Аналог усеченного куба:
• 14 граней (6 больших, 8 малых), 24 сферических участка;
• двугранные углы:
между большими гранями = 90°,
между большой и малой гранями ≈ 125,26°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,71;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,17
Рис. 4. Аналог усеченного октаэдра:
• 14 граней (8 больших, 6 малых), 24 сферических участка;
• двугранные углы:
между большими гранями ≈ 109,47°,
между большой и малой гранями ≈ 125,26°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,65;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,33
Рис. 5. Аналог ромбокубооктаэдра:
• 26 граней (18 больших, 8 малых), 24 сферических участка;
• двугранные углы:
между большими гранями = 135°,
между большой и малой гранями ≈ 144,74°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,38;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,22
Рис. 6. Аналог ромбоусеченного кубооктаэдра:
• 26 граней (6 больших, 8 средних и 12 малых), 48 сферических участков;
• двугранные углы:
между большой и средней гранями ≈ 125,26°,
между большой и малой гранями = 135°,
между средней и малой гранями ≈ 144,74°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,53;
• отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,38;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,22
Рис. 7. Аналог икосододекаэдра:
• 32 грани (12 больших, 20 малых), 30 сферических участков;
• двугранный угол между большой и малой гранями ≈ 142,62°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,45;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,19
Рис. 8. Аналог усеченного додекаэдра:
• 32 грани (12 больших, 20 малых), 60 сферических участков;
• двугранные углы:
между большими гранями ≈ 116,57°,
между большой и малой гранями ≈ 142,62°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,53;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,10
Рис. 9. Аналог усеченного икосаэдра:
• 32 грани (20 больших, 12 малых), 60 сферических участков;
• двугранные углы:
между большими гранями ≈ 138,19°,
между большой и малой гранями ≈ 142,62°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,36;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,28
Рис. 10. Аналог курносого куба*:
• 38 граней (6 больших, 32 малых), 24 сферических участка;
• двугранные углы:
между малыми гранями ≈ 153,23°,
между большой и малой гранями ≈ 142,98°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,40;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,23
Рис. 11. Аналог ромбоикосододекаэдра:
• 62 грани (12 больших, 30 средних и 20 малых), 60 сферических участков;
• двугранные углы:
между большой и средней гранями ≈ 148,29°,
между средней и малой гранями ≈ 159,09°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,32;
• отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,23;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,13
Рис. 12. Аналог ромбоусеченного икосододекаэдра:
• 62 грани (12 больших, 20 средних и 30 малых), 120 сферических участков;
• двугранные углы:
между большой и средней гранями ≈ 142,62°,
между большой и малой гранями ≈ 148,28°,
между средней и малой гранями ≈ 159,09°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,41;
• отношение радиуса средней грани к радиусу сферы ≈ 0,23;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,13
Рис. 13. Аналог курносого додекаэдра*:
• 92 грани (12 больших, 80 малых), 60 сферических участков;
• двугранные углы:
между малыми гранями ≈ 164,18°,
между большой и малой гранями ≈ 152,93°;
• отношение радиуса большой грани к радиусу сферы ≈ 0,33;
• отношение радиуса малой грани к радиусу сферы ≈ 0,14
*Аналоги курносого куба и курносого додекаэдра имеют правые и левые зеркальные формы, как и их архимедовы прототипы
Свойства симметрии шароусеченных аналогов совпадают с аналогичными свойствами архимедовых прототипов.
Что касается применения, то, например, в качестве игральных костей аналоги архимедовых тел не подойдут изза разных размеров граней и разных расстояний от граней до центра шара. А вот опциональные возможности их использования в качестве игрушек, сувениров и вариантов огранки ювелирных изделий остаются (рис. 14).
Рис. 14. Пример ювелирного изделия
