Точный расчет эффективной площади рассеяния и его реализация в программном комплексе CADFlo

Виктор Аушев,
главный разработчик, отдел физико-математического моделирования, ООО «Т1 Интеграция»

Представляем статью о реализации в программном комплексе CADFlo эффективного решения многомасштабных задач дифракции для диэлектриков и идеальных проводников методом моментов, позволяющего моделировать электрически большие объекты с десятками миллионов неизвестных и обеспечивающего ускорение в 2-10 раз по сравнению с зарубежными аналогами.

Почему расчет ЭПР остается одной из самых сложных задач электродинамики

Эффективная площадь рассеяния (ЭПР) — ключевая характеристика, определяющая, насколько хорошо объект отражает электромагнитную волну обратно к источнику излучения. Точное знание ЭПР необходимо при проектировании малозаметных летательных аппаратов, оптимизации антенных систем, разработке радиопоглощающих покрытий и создании радаров для обнаружения малоразмерных целей, таких как беспилотные летательные аппараты.

Особую сложность представляет тот факт, что реальные объекты никогда не состоят из одного материала, а содержат одновременно металлические и диэлектрические компоненты. В реальной инженерной практике именно такие комбинированные конструкции встречаются повсеместно: фюзеляж самолета может быть выполнен из алюминиевых сплавов, а обтекатель радара — из радиопрозрачного композита, дрон состоит из углепластикового корпуса, моторов и электроники внутри. Каждый из этих материалов по-разному взаимодействует с электромагнитным полем, и корректный учет всех физических эффектов на границах раздела сред требует применения специализированных численных методов.

Ведущие зарубежные коммерческие пакеты для электромагнитного моделирования (ANSYS HFSS, CST Studio Suite, Altair FEKO) обладают широкими возможностями. Однако при расчете эффективной площади рассеяния на крупных комбинированных объектах они нередко сталкиваются с чрезмерным потреблением оперативной памяти и неоправданно долгим временем вычислений. Когда число неизвестных достигает десятков миллионов, эти факторы становятся критическим ограничением.

Программный комплекс CADFlo создан именно для преодоления этих барьеров. Изначально разработчики сделали ставку на строгую оптимизацию потребления ресурсов. Наряду с совершенствованием вычислительного ядра внедрялись уникальные инженерные решения, позволяющие кратно сокращать время расчетов. При создании функционала приоритетом стала не просто реализация, а глубокая оптимизация самих вычислительных алгоритмов.

В основу решателя положен метод моментов, ускоренный многоуровневым быстрым методом мультиполей (MLFMM) и оригинальным геометрически-адаптивным предобуславливателем. Такой подход позволяет рассчитывать ЭПР объектов метровых размеров с десятками миллионов неизвестных на частотах до 18 ГГц, обеспечивая существенный выигрыш по скорости по сравнению с существующими аналогами.

В настоящей статье мы расскажем о математической основе метода и особенностях реализации в CADFlo, а также продемонстрируем возможности на примерах верификационных и практических расчетов.

Математическая основа метода

Интегральные уравнения для комбинированных структур

В основе CADFlo лежит метод поверхностных интегральных уравнений. Его главное преимущество перед объемными методами (такими как метод конечных элементов) состоит в том, что дискретизации подвергается только поверхность объекта, а не весь его объем. Это радикально сокращает число неизвестных и делает возможным моделирование электрически крупных тел.

Для идеально проводящих участков поверхности используется комбинированное интегральное уравнение электрического и магнитного полей (CFIE — combined field integral equation). Для диэлектрических областей применяется его обобщение — система уравнений JMCFIE, которая одновременно учитывает эквивалентные электрические и магнитные токи на границах раздела сред. Комбинированные формулировки выбраны не случайно: они обеспечивают хорошую обусловленность матрицы системы, устойчивость решения в широком диапазоне частот и, что особенно важно, гарантируют единственность решения, избегая проблему внутренних резонансов, характерную для «чистых» формулировок EFIE или MFIE.

Дискретизация и базисные функции

Поверхность объекта разбивается на треугольную сетку, после чего интегральные уравнения дискретизируются методом Галеркина. В качестве базисных функций используются стандартные RWG-функции (Rao — Wilton — Glisson), заданные на парах соседних треугольников. Для вычисления сингулярных интегралов, возникающих при совпадении или соприкосновении базисных и проекционных элементов, применяется аналитическое выделение особенности с последующим численным интегрированием гладкой части.

В результате формируется плотная матрица системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), размер которой определяется числом неизвестных на поверхности. Прямое решение такой системы методом Гаусса потребовало бы ресурсов, пропорциональных кубу числа неизвестных, что делает его неприменимым уже для задач с несколькими десятками тысяч элементов. Поэтому в CADFlo используется итерационный подход.

Технологии ускорения: как CADFlo справляется с миллионами неизвестных

Многоуровневый быстрый метод мультиполей (MLFMM)

Ключевым инструментом, снижающим вычислительную сложность, является многоуровневый быстрый метод мультиполей. Его идея состоит в том, что взаимодействие между удаленными группами элементов сетки вычисляется не попарно, а через промежуточные мультипольные разложения, сгруппированные в иерархическую структуру октодерева.

В реализации CADFlo используется адаптивный вариант MLFMM, который автоматически переключается между двумя режимами в зависимости от электрического размера ячейки. Для ячеек, малых по сравнению с длиной волны (низкочастотный режим), применяются классические мультипольные разложения со схемой «поворот — трансляция — поворот», что существенно экономит память по сравнению с экспоненциальными разложениями. Для крупных ячеек (высокочастотный режим) используются образы мультипольных разложений (far-field signature) и диагональные формы операторов трансляции.

Благодаря MLFMM сложность умножения матрицы на вектор снижается с квадратичной до практически линейной зависимости от числа неизвестных. Это означает, что удвоение размера задачи приводит к увеличению времени расчета примерно вдвое. При прямом решении системы линейных уравнений удвоение числа неизвестных привело бы к росту времени расчета в восемь раз.

Геометрически-адаптивный предобуславливатель

Даже с использованием MLFMM скорость сходимости итерационного решателя (в CADFlo применяется метод FGMRES) может существенно деградировать на многомасштабных геометриях. Типичная ситуация: в модели дрона мелкие элементы сетки на кромках лопастей соседствуют с крупными треугольниками на плоских панелях корпуса. Разница в размерах элементов может достигать нескольких порядков, что приводит к плохой обусловленности системы и резкому росту числа итераций.

Для решения этой проблемы в CADFlo разработан оригинальный геометрически-адаптивный предобуславливатель, который, в отличие от стандартных подходов — диагонального, блочно-диагонального или геометрического, автоматически подбирает пороговое расстояние для каждого элемента сетки на основе его локальных геометрических характеристик и топологических связей. Это позволяет предобуславливателю одинаково эффективно работать как на равномерных, так и на сильно неоднородных сетках, не требуя ручной настройки параметров (табл. 1).

Практический эффект от применения наиболее заметен именно на сложных комбинированных объектах. Например, для модели дрона с неоднородной сеткой число итераций сокращается в несколько раз по сравнению с классическими предобуславливателями, что напрямую влияет на общее время расчета.

Таблица 1. Число итераций для разных типов предобуславливателей

Верификация

Сфера: проверка точности и сеточной сходимости

Первым и обязательным этапом проверки любого электродинамического решателя является расчет рассеяния на сфере, для которой известно точное аналитическое решение в виде ряда Ми. В CADFlo были проведены расчеты как для идеально проводящей (табл. 2), так и для диэлектрической сферы с потерями в широком диапазоне частот и при различных размерах сетки (табл. 3).

Таблица 2. Ошибка расчета ЭПР в зависимости от числа элементов и коэффициента α для идеально проводящей сферы (f = 690 МГц)

Таблица 3. Ошибка расчета ЭПР δσ в зависимости от числа элементов и коэффициента α для диэлектрической сферы (εr = 4 + 0.08i, f = 350 МГц)

Результаты подтвердили второй порядок сеточной сходимости для всех рассмотренных формулировок интегральных уравнений. Для диэлектрической сферы с потерями при коэффициенте 0,5 и 1 наблюдается замедление сходимости при увеличении числа треугольников в сетке от 20 480 до 81 920. Это объясняется тем, что для диэлектриков матрица системы гораздо хуже обусловлена, и общая точность решения оказывается ограниченной точностью вычисления сингулярных интегралов, которая составляет 10-3-10-4.

Сравнение с зарубежным программным обеспечением

Для оценки практической эффективности CADFlo было проведено прямое сравнение с ведущим зарубежным аналогом, использующим аналогичный решатель на основе интегральных уравнений. Все расчеты выполнялись на одной и той же рабочей станции (процессор Intel Core i9-10900, 128 Гбайт оперативной памяти) при одинаковых настройках точности (табл. 4).

Таблица 4. Сравнение времени расчета и потребляемой памяти между предложенной реализацией и зарубежным аналогом

Результаты сравнения наглядно демонстрируют преимущества CADFlo. Для идеально проводящей и диэлектрической сферы во всех конфигурациях CADFlo обеспечивает ускорение приблизительно в 2 раза при сопоставимом потреблении памяти.

Особенно впечатляющие результаты получены для задач со сложной геометрией. Расчет ЭПР модели самолета (1,6 млн элементов, частота 1,5 ГГц) в CADFlo занял 674 секунды против 2743 секунд в зарубежном аналоге — ускорение в 4 раза, при этом затраты по памяти меньше в 3,5 раза. Для модели дрона с комбинированными материалами (102 тыс. элементов, 4 ГГц) разница еще более разительна: 145 секунд против 1482, то есть ускорение почти в 10 раз при одновременном снижении потребления памяти с 39 до 7 Гбайт. Столь значительный выигрыш связан с тем, что зарубежный аналог менее эффективно обрабатывает задачи с несколькими диэлектрическими областями и многомасштабной сеткой — именно тот класс задач, для которого CADFlo проектировался.

Сравнение угловых зависимостей ЭПР показало отличное совпадение результатов: среднее расхождение составило 0,14 дБ для самолета и 0,08 дБ для дрона. Распределения напряженности электрического поля на поверхности объектов также практически идентичны, причем CADFlo более точно воспроизводит пики поля на острых кромках, что соответствует физической картине явления.

Практические расчеты: самолет в X-диапазоне (10 ГГц)

Для демонстрации возможностей CADFlo при решении задач промышленного масштаба был выполнен расчет ЭПР модели самолета на частоте 10 ГГц. Электрический размер объекта составил 633 длины волны, а расчетная сетка содержала 36 млн треугольных элементов, что соответствует 54 млн неизвестных.

Задача такого масштаба требует применения кластера и возможности распараллеливания решателя с использованием технологий MPI, что и было реализовано разработчиками в программном комплексе CADFlo. Расчет проводился на кластере из 10 узлов, каждый узел содержал два процессора Intel Xeon Gold 6326; интерконнект — InfiniBand HDR 200 Gbit/s. Общее время решения составило почти ровно 1 час, при этом потребовалось суммарно 0,9 Тбайт памяти и 81 итерация для достижения сходимости. Полученная диаграмма бистатической ЭПР демонстрирует характерную для летательных аппаратов структуру с ярко выраженными главными максимумами и глубокими провалами, обусловленными интерференцией отражений от различных элементов конструкции.

Таким образом, CADFlo способен решать задачи, которые находятся на пределе возможностей большинства существующих коммерческих пакетов, и делает это за разумное время.

Заключение

Программный комплекс CADFlo представляет собой специализированный инструмент для точного расчета эффективной площади рассеяния объектов, содержащих как идеально проводящие, так и диэлектрические компоненты. Его ключевые преимущества определяются тремя составляющими.

Первая — надежная математическая основа. Использование комбинированных интегральных уравнений гарантирует устойчивость и единственность решения в широком диапазоне частот, а метод моментов обеспечивает второй порядок сходимости.

Вторая — высокая вычислительная эффективность. Адаптивный многоуровневый метод мультиполей (MLFMM) снижает сложность расчетов до практически линейной, а оригинальный предобуславливатель обеспечивает быструю сходимость итерационного решателя даже на сильно неоднородных многомасштабных сетках. В совокупности это дает ускорение в 2-10 раз по сравнению с зарубежными аналогами при сопоставимой точности.

Третья — практическая применимость к задачам промышленного масштаба. CADFlo успешно справляется с расчетами объектов, содержащих десятки миллионов неизвестных, на частотах до 18 ГГц, что покрывает потребности большинства прикладных задач радиолокации и проектирования малозаметных конструкций.

Верификация на аналитических решениях, прямое сравнение с аналогичным зарубежным ПО и успешное решение задач для полноразмерных летательных аппаратов подтверждают, что CADFlo является зрелым и надежным инструментом, готовым к интеграции в инженерные процессы предприятий аэрокосмической и оборонной отрасли.