Внутренний мир МКЭ
Журнал «САПР и графика» справедливо уделяет много внимания вопросам инженерного анализа проектируемых конструкций. Этому есть объективные причины. В последние годы чрезвычайно быстро развиваются и внедряются в практику компьютерные системы автоматизированного проектирования. Графические системы позволили значительно ускорить создание графической документации на разрабатываемое изделие. Кроме того, в еще большей степени они облегчили использование разработанных ранее и уже имеющихся в базах данных отдельных деталей, конструктивных элементов и узлов в создаваемых конструкциях. При этом как новые конструктивные элементы, так и созданные ранее, но используемые в новых условиях, требуют выполнения соответствующего этим новым условиям работы инженерного расчета.
Проведение инженерных расчетов конструкций представляет собой весьма трудоемкий процесс, требующий специальных знаний и высокой квалификации сотрудников в различных областях инженерной деятельности. В общем случае время, затрачиваемое на выполнение инженерных расчетов, превышает время выполнения графической части. Кроме того, в процессе проектирования часто возникает необходимость создания физических моделей и проведения исследований их поведения. Применение систем автоматизированного проектирования изменило сложившиеся пропорции в трудоемкости графической и расчетной частей проекта. Выполнение инженерного анализа разрабатываемой конструкции стало заметно уменьшать возможности автоматизированного проектирования. Использование же вычислительной техники могло бы ощутимо снизить время, затрачиваемое на выполнение расчетов, повысив при этом точность результатов и уменьшив возможность появления случайных ошибок. Точный инженерный анализ мог бы исключить необходимость изготовления физической модели и проведения экспериментальных работ. Кроме того, представляется заманчивой возможность создания с помощью специалистов высокой квалификации программных средств инженерного анализа, которые могли бы быть использованы пользователями более низкой квалификации. Таким образом, использование автоматизированных средств анализа конструкции может привести к значительному снижению затрат времени и материальных средств на разработку проекта. Это может быть как специализированная программа, так и программа общего назначения. Чем большими возможностями она будет обладать, тем шире будет круг ее пользователей и тем лучший коммерческий результат будет получен. Но для создания таких программ необходимы методы, которые можно либо непосредственно применять для решения различных инженерных задач, либо без изменения их основы легко дополнять отдельными фрагментами, определяющими специализацию.
Наиболее широкое распространение получил метод дискретизации, при котором сложная задача, решение которой по разным причинам затруднительно, расчленяется на конечное число элементарных задач, имеющих конкретные решения. Результаты, полученные для элементарных задач, в последующем переносятся на решение исходной задачи. Этот метод, получивший название метода конечных элементов, используется практически во всех современных программах инженерного анализа.
В статьях, опубликованных в журнале «САПР и графика», в общем виде описана история развития метода конечных элементов, охарактеризованы современные направления его использования в различных областях инженерного анализа, а также теоретические положения самого метода и общий алгоритм его реализации. Однако наибольшее количество информации в специализированных изданиях и материалах фирм-разработчиков аналитических программных продуктов относится к области демонстрации закладываемых в программу возможностей в сопровождении впечатляющих воображение потенциального пользователя цветных иллюстративных материалов. Следует отметить, что разработчики аналитических программ включают также материалы решения отдельных тестовых задач. Однако эти задачи имеют скорее рекламный характер и не определяют области достоверного применения программы. А именно достоверность результатов решения задач в первую очередь интересует пользователей. Время, когда результаты расчетов априори считались достоверными лишь потому, что были получены с использованием вычислительной техники, безвозвратно прошло. Сейчас специалистов в первую очередь интересуют конкретные числовые значения рассчитываемых параметров и возможность эффективного контроля их достоверности, хотя и визуализация результатов имеет свое информационное значение. В последнее время журнал «САПР и графика» большое внимание уделяет публикациям, посвященным анализу точности результатов работы программных продуктов как основному критерию их качества и пригодности для решения конкретных инженерных задач во всем их многообразии.
При описании метода конечных элементов авторы публикаций, к сожалению, совершенно не уделяют внимания анализу тех теоретических положений, которые были приняты исходными для метода и на которых базируется алгоритм его осуществления. Но возможности метода, которые могут быть получены в результате его применения, определяются именно закладываемыми в его основу теоретическими положениями и тем, каким образом они реализуются. Поэтому анализ теоретических положений метода в первую очередь представляет интерес при исследовании достоверности результатов его применения.
Первоначально метод конечных элементов использовался для решения задач по определению напряженно-деформированного состояния конструкций, и до сих пор это направление его применения остается превалирующим. Поэтому анализ будет основываться на существующих теоретических положениях данной области инженерных знаний. Но это совершенно не означает, что полученные результаты будут касаться лишь напряженно-деформированного состояния конструкции. Анализ имеет общий характер, и результаты его могут быть отнесены и к другим областям инженерной деятельности.
В основе метода конечных элементов лежит вариационный интегральный принцип Лагранжа. Суть принципа Лагранжа заключается в утверждении, что в системах, стесненных идеальными стационарными внутренними связями и находящихся под действием потенциальных сил, не зависящих явно от времени, из множества кинематически допустимых перемещений, соответствующих заданным условиям, те, которые удовлетворяют условиям равновесия, придают потенциальной энергии системы стационарное значение. Если начальное и конечное положение системы достаточно близки, то действие по Лагранжу имеет минимум для действительного движения. В связи с этим принцип Лагранжа называется также принципом наименьшего действия в форме Лагранжа, то есть одним из фундаментальных принципов механики. Согласно принципу Лагранжа, в состоянии устойчивого равновесия значение потенциальной энергии системы минимально. Из вариационного принципа Лагранжа следует, что в состоянии равновесия системы каждый из ее элементов также находится в равновесии, которое соответствует равновесному состоянию всей системы. Принцип Лагранжа устанавливает также пропорциональную связь между силами и перемещениями элементов системы. Как видно, из достаточно специализированного описания сущности принципа Лагранжа следуют простые, практически используемые положения.
Выяснив основные физические исходные положения, на которых базируется метод, перейдем к рассмотрению основных этапов его реализации.
Рассчитываемая система расчленяется на некоторое число отдельных элементов конечных размеров, неразрывно связанных между собой в узловых точках, для которых должен быть известен характер соотношения между перемещениями и реакциями в узлах. Таким образом, генерируется сетка из конечных элементов простой геометрической формы, которая с достаточной степенью точности аппроксимирует конкретную конструкцию. В узловых точках элементов сетки на основании принципа Лагранжа связи между действующими силами и перемещениями записываются выражением вида:
{F}r=[K]*{q}r (1)
где {F}r — матрица реакций в узлах, то есть вектор узловых сил конечного элемента;
{q}r — матрица перемещений в узлах, то есть вектор узловых перемещений;
[K] — матрица жесткости конечного элемента.
Разрешающие уравнения (1) являются, по сути, уравнениями равновесия конечных элементов и включают в себя систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно вектора узловых перемещений. Матрица жесткости представляет собой математическую запись физической связи между реакциями в узлах элемента и узловыми перемещениями. Матрица жесткости является интегральной характеристикой, включающей как физические свойства материала рассчитываемой системы, так и геометрические свойства конечного элемента и сгенерированной сетки. Именно правильное построение матрицы жесткости определяет на первом этапе степень точности разрешающего уравнения, степень соответствия узловых сил и узловых перемещений состоянию системы. В общем случае матрица жесткости уникальна для каждого элемента и имеет важнейшее значение при реализации метода конечных элементов. Сетка конечных элементов может считаться построенной лишь после того, как построена матрица жесткости. Точные значения коэффициентов жесткости одномерных конечных элементов стержневых систем с линейными характеристиками (для которых вначале и использовался метод конечных элементов) приводят к достаточно точным решениям задач о напряженно-деформированном состоянии такой системы. Но инженерные конструкции редко состоят из таких простых элементов, как стержень с одной степенью свободы в узле. Расширение использования метода для решения двухмерных и трехмерных задач увеличивает количество степеней свободы конечного элемента. Это в значительной степени усложняет построение матрицы жесткости. В этих случаях возникает необходимость применения специальных математических методов, обычно оперирующих множеством матриц, которые в результате дают возможность получить лишь приближенное решение. В принципе, при любой матрице жесткости будет получено соответствующее ей решение, при котором в узловых точках элементов сохранится состояние равновесия. Вопрос состоит лишь в том, насколько точно данная матрица описывает физические свойства рассчитываемой системы и насколько полученные результаты ей соответствуют. Проверить это можно лишь после выполнения расчета с помощью анализа полученного в результате расчета напряженного состояния всей системы.
При правильном построении матрицы жесткости решение разрешающих уравнений с заданной степенью невязки узловых сил или узловых перемещений также представляет собой непростую математическую задачу. Для решения таких задач применяется специальные математические методы, использование которых неминуемо вводит свойственные им допущения и ограничения. Это приводит к сужению области применения данной аналитической программы, которое должно быть оговорено в документации. Кроме того, возникает опасность получения формально (математически) правильного, но не соответствующего физике задачи результата. Однако лишь применение специальных математических методов позволяют с определенной степенью точности за конечное число итераций определить узловые силы и узловые перемещения.
Попытаемся оценить объем вычислений, необходимый для выполнения лишь одной итерации. Размерность матрицы жесткости определяется числом степеней свободы конечного элемента. Для выполнения одной итерации необходимо произвести определенное количество простых математических действий. Оценим это число на примере простейшей задачи линейного математического программирования — выбор по такому одному элементу в каждой из n строк и в каждом из n столбцов квадратной таблицы чисел, который соответствовал бы заданной целевой функции. При этом положим, что вычисление целевой функции требует выполнения лишь одной простой математической операции с каждым элементом таблицы. Область определения целевой функции в задачах линейного программирования представляет собой выпуклое многомерное множество в n-мерном пространстве переменных. Число вершин соответствующего многогранного множества равно n! При мерности таблицы чисел равной 20 число вершин равно 20!=2,43×1018. Компьютеру, выполняющему 100 млн. операций в секунду, потребуется более 770 лет, чтобы перебрать все вершины многогранника, определяемого условиями задачи. Совершенно очевидно, что даже такая простая задача оказывается практически невыполнимой без использования не только вычислительной техники, но и специальных методов, позволяющих значительно уменьшить объем и, следовательно, время выполнения вычислений.
Однако основная задача определения напряженно-деформированного состояния системы вводит новые условия. При каждой итерации узлы сетки элементов получают определенные перемещения — система деформируется. Изменяются и значения узловых сил. При деформировании упругой системы характер связей между элементами изменяется. Таким образом, в процессе решения задачи конечный элемент изменяет свое информационное состояние. Это ведет к необходимости соответствующей коррекции матрицы жесткости и переводит задачу в более сложную область — область динамического программирования, где также используются соответствующие допущения, ограничения и упрощения. Все это не только значительно усложняет решение, но и ведет к накоплению погрешности результата.
Вот почему сообщения о решении задач определения напряженно-деформированного состояния конструкции за время, исчисляемое минутами или даже секундами, вызывает истинное восхищение искусством специалистов, создавших конкретную программу. Но в то же время такие известия вызывают определенные опасения в достоверности результатов расчета.
Однако допустим, что описанные сложности метода успешно преодолены, и для всех элементов сетки определены узловые силы и узловые перемещения, точно соответствующие условию равновесия каждого элемента. Можно ли считать задачу определения напряженно-деформированного состояния системы решенной? Вопрос этот связан с тем, как метод конечных элементов использует положение принципа Лагранжа о равновесии всей системы и ее элементов. Совершенно очевидно, что состояние равновесия системы является причиной, следствие которой — равновесие элементов системы. Менять местами причину и следствие недопустимо.
Любая система может находиться в бесконечном множестве состояний равновесия, при котором все ее элементы также находятся в состоянии равновесия. Каждому из состояний равновесия всей системы соответствует совершенно определенное распределение внутренних напряжений и деформаций, отличное от других распределений, то есть совершенно определенные состояния равновесия элементов, отличающиеся от других возможных состояний равновесия. Найдя с помощью метода конечных элементов узловые силы и соответствующие им узловые перемещения, при которых элемент находится в равновесии, нельзя гарантировать, что найденное состояние равновесия соответствует именно тому распределению, которое устанавливается в конкретной системе в результате воздействия заданного внешнего нагружения. Иначе говоря, предполагаемое положение о равновесии всей системы в случае, если все ее элементы находятся в состоянии равновесия, является ошибочным. Состояние равновесия системы при заданных условиях единственно возможное, отличное от всех других состояний, и распределение внутренних напряжений соответствует только этим условиям. Состояния равновесия же отдельных элементов, определенные с помощью метода конечных элементов, могут соответствовать разным распределениям внутренних напряжений и в сумме не будут обеспечивать общего состояния равновесия системы. Таким образом, в итоге может быть получен результат, который не будет соответствовать исходной задаче, что чаще всего и случается при расчете сложных систем. Безусловно, исходя из положения о том, что в любом сечении уравновешенной системы действующие силы также должны быть уравновешены, можно выявить ошибочность расчетных результатов. Но для исключения при суммировании расчетных значений сил в сечении случайного результата, удовлетворяющего условию равновесия суммарных значений, но не соответствующего их распределению по сечению, таких проверок необходимо делать несколько для разных сечений, отличающихся друг от друга. Описанные обстоятельства значительно усложняют применение программных средств, использующих метод конечных элементов, для выполнения инженерного анализа.
Описанная особенность метода конечных элементов была проверена на большом количестве расчетов напряженного состояния оболочечных конструкций различными программами, использующими метод конечных элементов. Новая технология расчета оболочек позволяет с большой точностью получить распределение внутренних сил в зависимости от геометрической формы оболочки и схемы ее внешнего нагружения. Сопоставление аналитических результатов с результатами расчета тех же конструкций с помощью программ инженерного анализа показали, что при автоматизированном расчете распределение внутренних сил не соответствует распределению, при котором сохраняется вся оболочка. При этом равновесие узловых сил каждого элемента автоматизированного расчета сохранялось.
Может возникнуть естественный вопрос о целесообразности использования метода конечных элементов в автоматизированных программных продуктах инженерного анализа. Ответ в этом случае будет однозначен: применение метода конечных элементов безусловно оправданно в соответствующих условиях. Но при этом в документацию программ в обязательном порядке должна быть введена информация, в которой совершенно конкретно и однозначно описана область и указан класс задач, для которых данная программа предназначена. Должны быть указаны и условия, при которых программа не обеспечивает получение достоверных результатов. Кроме того, разработчик программы обязан нести ответственность за достоверность результатов решения оговоренных в сопроводительной документации задач. Безусловно, что неквалифицированное использование аналитических программ не может служить причиной иска. Но ничем не ограничиваемое, а часто и провоцируемое рекламой, неоправданное расширение областей применения программных средств при одновременном значительным снижении требуемого уровня специальной подготовки пользователей, неминуемо ведет к совершенно очевидным последствиям.
Чего же можно ожидать в ближайшем будущем от автоматизированных средств инженерного анализа? По-видимому, существующий сейчас алгоритм применения метода конечных элементов в ближайшее время претерпит коренные изменения. Представляется, что вероятным направлением развития программных средств инженерного анализа станет интеграция теоретических решений в конкретных областях инженерных расчетов с возможностями численных математических методов. Достоинством теоретических решений является их точность. Для простых задач могут быть составлены простые и легко решаемые уравнения. Однако в практике проектирования «простые» задачи практически не встречаются. С усложнением задачи усложняется и ее математическое описание, и теоретическое решение. В результате для большинства практических задач обычно получаем либо весьма сложные уравнения, либо вообще неразрешимые. Но практическая задача может решаться по алгоритму поэтапного уточнения. На первом этапе исходная задача упрощается таким образом, чтобы, сохраняя основные характеристики, стало возможным описать ее математически и решить аналитически. Затем в задачу вводятся не вошедшие в математическое описание элементы, влияние которых оценивается с помощью численных математических методов с использованием результатов аналитического решения, в частности с помощью метода конечных элементов.
«САПР и графика» 5'2000
