Динамические расчеты в системе ИСПА

Александр Мухин, Олег Блинов

В статье «Проверка на прочность, или Как с помощью конечно-элементного анализа сэкономить 500 млн. долларов» («САПР и графика» № 3’98) было заявлено о создании блока динамических расчетов в рамках конечно-элементной системы ИСПА. Прошло более двух лет, и за это время были разработаны, прошли опытную эксплуатацию и продаются на коммерческой основе фирмой «АЛЕКСОФТ» модули динамического расчета конструкций.

На вопрос, что такое динамический расчет конструкции, мы и постараемся ответить в этой статье. Для лучшего понимания предмета разговора нам придется прибегнуть к языку формул.

Запишем основное уравнение динамики в матричном виде:

(1)

где:

[M] — матрица масс;

[C] — матрица демпфирования;

[K] — матрица жесткости;

— соответственно векторы ускорения, скорости и перемещения;

— вектор правой части (нагрузка, зависящая от времени).

Постараемся упростить данное уравнение. Как показывает практика, членом , учитывающим внутреннее трение в конструкции, можно пренебречь. Это вовсе не означает, что внутреннее трение не учитывается при расчете в системе ИСПА. Просто сейчас это облегчит нам понимание сути данного уравнения. Перепишем то, что осталось, еще раз:

(2)

Физическая сущность членов уравнения (2) довольно проста. учитывает инерционные свойства конструкции, — упругие (линейные или нелинейные) ее свойства. Если идти дальше по пути упрощения данного уравнения и убрать член , можно получить обычное статическое уравнение . Делаем вывод, что статика — частный случай динамики, когда не учитываются инерционные свойства конструкции. А если из уравнения (2) убрать , то получится закон Ньютона, хорошо знакомый всем еще со школьной скамьи, — . Исходя из этого делаем еще один вывод: закон Ньютона не учитывает упругие свойства объекта.

«Все это, конечно, правильно, — скажет читатель, — но как решается данное уравнение?» Наберемся терпения и пойдем дальше.

Итак, в нашем уравнении неизвестными являются — ускорение, скорость и перемещение, а известными параметрами — [M], [K], — матрицы массы и жесткости и вектор нагрузки, зависящий от времени. Считается, что вектор нагрузки задан, а вот матрицы [M] и [K] нужно как-то получить (создать), прежде чем производить расчет. Одним из способов создания этих матриц является конечно-элементное представление конструкции, то есть создание конечно-элементной модели.

После получения матриц [M] и [K] остается только тем или иным способом проинтегрировать уравнение (2) и получить на каждом шаге интегрирования. В данном случае подразумевается численное интегрирование, так как для произвольного вида функции аналитические методы не работают. Еще раз подчеркнем, что способ решения уравнения (2) не связан с конечно-элементным анализом.

Сразу следует отметить, что по размерам матрицы [M] и [K] получаются довольно большими и время решения оставляет желать лучшего. Кроме того, на каждом шаге интегрирования (а их немало) в базе данных сохраняются те же величины ускорения, скорости и перемещения, что в некоторых случаях приводит к переполнению дискового пространства.

В итоге — необходим мощный компьютер, а время решения все равно большое. Но выход есть. Уравнение (2) записано в обычной декартовой системе координат. Перейдем в другую систему координат. Для этого введем преобразование , где [W] — собственные векторы конструкции, — вектор обобщенных перемещений. Аналогичное преобразование сделаем и для ускорения. Уравнение (2) теперь можно записать в виде: . Домножив левую и правую части полученного уравнения на транспонированные собственные вектора [W^T], получим:

(3)

Если собственные вектора [W] были предварительно нормированы по массе, то:

, где [E] — единичная матрица;

, где — диагональная матрица собственных значений.

Подставив в уравнение (3) новые обозначения, получим итоговое уравнение:

(4)

Проведем анализ полученного уравнения. Матрицы [E] и — диагональные, то есть полученная система уравнений распадается, что уже облегчает решение. Размерность этих матриц равна количеству определенных собственных векторов, что на порядки меньше размерности матриц [M] и [K]. Как следствие — существенное сокращение времени решения и количества выходной информации.

В системе ИСПА уравнения (2) и (4) решаются методом Хаболта, который реализует абсолютно устойчивую разностную схему второго порядка аппроксимации.

Удобство работы состоит в том, что любую конечно-элементную модель в формате ИСПА можно решить в динамической постановке, задав только закон изменения действующих нагрузок. Комплекс позволяет находить решение для математических моделей из упругих и твердых тел с линейными и нелинейными соединительными элементами. Например, создается математическая модель автомобиля. Упругая рама, кабина, платформа, двигатель как твердое целое. Нелинейными элементами моделируются подвеска, места крепления навесных агрегатов. Задается нагрузка, например движение автомобиля по определенному дорожному покрытию, и после решения пользователь получает график изменения во времени величин ускорения, скорости, перемещения или напряжения в любой точке созданной модели автомобиля. Заметим, что, имея значения изменения напряжения во времени, мы выходим на расчет усталостной прочности и оценки долговечности конструкции в целом и отдельных ее узлов.

Внимательно посмотрев на уравнение (4), не трудно заметить, что для его решения необходимы только собственные векторы и собственные значения. В системе ИСПА программы расчета собственных векторов появились еще в 1990 году. Было реализовано два алгоритма: метод итерирования подпространства и алгоритм Ланцоша. Метод Ланцоша предназначен для определения большого количества собственных векторов. Математика самого алгоритма описана в учебниках, но в каждой системе используется своя реализация, что связано с численной неустойчивостью решения (векторы Ланцоша теряют ортонормальность, и решение «разваливается»). (Этой теме будет посвящена отдельная статья.)

Чтобы оценить скорость решения, приведем один пример. Для определения 1300 собственных векторов и значений отсека судна (5000 степеней свободы) на компьютере P2-400 потребовалось 30 минут.

Так вот, в ряде организаций еще в 90-х годах ИСПА использовали как инструмент для получения собственных векторов и значений, а уравнение (4) решали самостоятельно, получая на выходе перемещение, скорость и ускорение. А вот изменение напряжения во времени получить было невозможно, так как для этого необходимы конечно-элементные алгоритмы.

Для удобства создания динамических моделей, их отладки, а также оценки расчетной информации создан пре- и постпроцессор GPROFD. Не будем останавливаться на возможностях программы GPROFD, скажем только, что она позволяет визуализировать колебание конструкции в виде последовательности кадров.

Читатель спросит: «Где и как можно поближе (подробнее) ознакомиться с комплексом ИСПА?» Проще всего сделать это на своей территории и на своем компьютере. Для этого нужно лишь приехать в фирму «АЛЕКСОФТ» и взять комплекс в бесплатную опытную эксплуатацию.

«САПР и графика» 9'2000